Analisis Vektor Gerak ~ p.koko blog

Pada bab sebelumnya telah dipelajari gerak lurus beraturan dan gerak lurus berubah beraturan pada benda yang bergerak di permukaan bumi (secara horizontal sepanjang sumbu X). Adapun gerak benda alam arah vertikal meliputi gerak vertikal ke atas, gerak vertikal ke bawah, dan gerak jatuh bebas. Anda dapat dengan mudah menentukan kecepatan, percepatan, dan perpindahan benda karena gerak benda berada pada satu sumbu (gerak satu dimensi). Adapun di bab ini akan mempelajari gerak dimensi dua. Sebagai contoh tendangan sudut dalam permainan sepak bola. Lintasan bola berbentuk parabola karena merupakan gabungan dua jenis gerak. Gerak dimensi dua juga terjadi ketika pesawat tinggal landas. Selain bergerak maju, pesawat juga bergerak ke atas. Dapatkah Anda menentukan arah kecepatan dan perpindahannya? Agar pembahasan menjadi lebih mudah, Anda harus menggunakan vektor untuk menjelaskan gerakan pesawat. Ingat kembali pembahasan vektor yang telah Anda pelajari. Pada bab ini, Anda akan mempelajari dan menganalisis gerak benda menggunakan vektor. Anda akan mempelajari posisi, kecepatan, dan percepatan benda pada gerak dimensi dua pada gerak parabola, dan gerak dimensi tiga.

Vektor Satuan dan Posisi

Vektor satuan adalah suatu vektor yang memiliki panjang atau besar sama dengan satu.

Analisisi vektor pada bab ini mempelajari vektor dimensi dua. Dengan demikian, siswa hanya perlu memahami vektor satuan sumbu X yang dituliskan $\widehat{\mathit{i}}$ dan vektor satuan sumbu Y yang dituliskan $\widehat{\mathit{j}}$ .

Vektor posisi adalah vektor yang menyatakan posisi suatu titik materi pada suatu bidang datar (dimensi dua). Posisi suatu titik materi pada bidang datar dinyatakan oleh vektor posisi $\vec{\mathit{r}}$

Vektor posisi sebarang titik dimensi dua yang dimulai dari titik awal (0, 0) dituliskan sebagai berikut :

$\vec{\mathit{r}}=\mathit{x}\widehat{\mathit{i}}+\mathit{y}\widehat{\mathit{j}}$

Perpindahan

Perpindahan adalah perubahan posisi suatu titik materi pada waktu tertentu. Sebagai contoh vektor posisi awal titik A pada saat t1 adalah $\vec{\mathit{{r_{1}}}}$ , sedangkan vektor posisi akhir titik B pada saat t2 adalah $\vec{\mathit{{r_{2}}}}$ .

Penjumlahan vektor $\vec{\mathit{r_{1}}}$ dan vektor perpindahan Δ $\vec{\mathit{r}}$ menghasilkan vektor $\vec{\mathit{r_{2}}}$ .

$\vec{\mathit{r_{1}}}$ + Δ $\vec{\mathit{r}$ = $\vec{\mathit{r_{2}}}$
Dengan demikian, vektor perpindahan dituliskan :
Δ $\vec{\mathit{r}}$ = $\vec{\mathit{r_{2}}}$ – $\vec{\mathit{r_{1}}}$
= (x2 – x1) $\widehat{\boldsymbol{\mathit{i}}}$ + (y2 – y1) $\widehat{\boldsymbol{\mathit{j}}}$

Besar perubahan posisi dirumuskan:
|Δ $\vec{\mathit{r}$ | = | $\vec{\mathit{r_{2}}}$ – $\vec{\mathit{r_{1}}}$ |

= $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Keterangan:
Δ $\vec{\mathit{r}}$     = perpindahan (m)
|Δ $\vec{\mathit{r}}$ | = besar perpindahan (m)
$\vec{\mathit{r_{1}}}$       = vektor posisi awal (m)
$\vec{\mathit{r_{2}}}$       = vektor posisi akhir (m)
x1, y1    = komponen posisi awal (m)
x2, y2    = komponen posisi akhir (m)

Kecepatan Gerak Benda

Kecepatan adalah kelajuan yang memperhatikan arah gerak benda. Kecepatan yang akan kita bahas adalah kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat

Kecepatan rata-rata adalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu tertentu. Secara matematis, kecepatan rata-rata dirumuskan sebagai berikut.

$\vec{\mathit{v}}_{rt}=\frac{\Delta \vec{\mathit{r}}}{\Delta \mathit{t}}=\frac{\vec{\mathit{r}_{2}}-\vec{\mathit{r}_{1}}}{\mathit{t}_{2}-\mathit{t}_{1}}$

$\vec{\mathit{v}}_{rt}=\frac{\Delta \mathit{x}}{\Delta \mathit{t}}\widehat{\mathit{i}}+\frac{\Delta \mathit{y}}{\Delta \mathit{t}}\widehat{\mathit{j}}$
Besar kecepatan rata-rata dirumuskan :

$\left | \vec{\mathit{v}}_{rt} \right |= \sqrt{\left [(\mathit{v}_{x})_{rt} \right ]^{2}+\left [(\mathit{v}_{y})_{rt} \right ]^{2}}$

Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata untuk selang waktu mendekati nol. Kecepatan sesaat dihitung menggunakan limit kecepatan ratarata dengan selang waktu sangat kecil atau mendekati nol. Dengan demikian, kecepatan sesaat merupakan turunan pertama dari persamaan posisi benda. Persamaannya sebagai berikut.

$\vec{\mathit{v}}(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{\mathit{r}}}{\Delta \mathit{t}}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\vec{r}(\mathit{t}+\Delta \mathit{t})-\vec{\mathit{r}}(t)}{\Delta \mathit{t}}=\frac{\mathit{dr}(\mathit{t})}{\mathit{dt}}$

Kecepatan sesaat untuk tiap-tiap sumbu koordinat yaitu :

$\vec{\mathit{v}}(t)=\frac{\mathit{dx}(t)}{\mathit{dt}}\widehat{\boldsymbol{\mathit{i}}}+\frac{\mathit{dy}(t)}{\mathit{dt}}\widehat{\mathit{j}}$

Besar kecepatan sesaat dirumuskan sebagai berikut.

$\left | \vec{\mathit{v}}(\mathit{t}) \right |=\sqrt{\mathit{v}^{2}_{x}+\mathit{v}^{2}_{y}}$

Arah kecepatan sesaat pada waktu kapan saja dinyatakan dengan sudut θ. Sudut ini adalah sudut antara vektor kecepatan sesaat dan sumbu X positif. Persamaannya sebagai berikut.

$tan\theta =\frac{\mathit{v}_{y}}{\mathit{v}_{x}}$

Besar kecepatan sesaat vx dan vy dituliskan sebagai berikut.

$\left | \mathit{v}_{x} \right |=\mathit{v} cos\theta$

$\left | \mathit{v}_{y} \right |=\mathit{v} sin\theta$

Menentukan Posisi dari Fungsi Kecepatan

Posisi titik materi pada koordinat X, Y, dan Z dapat ditentukan dengan mengintegralkan kecepatan vx, vy, dan vz. Pengintegralan kecepatan vx untuk mendapatkan persamaan x dijelaskan sebagai berikut.

$\mathit{v}_{x}=\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}$

$\mathit{x}=\mathit{x_{o}}+\int_{0}^{\mathit{t}}\mathit{v_{x}}\mathit{dt}$

Pengintegralan kecepatan vy untuk mendapatkan persamaan y dijelaskan sebagai berikut.

$\mathit{v_{y}}=\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}$

$\mathit{y}=\mathit{y_{o}}+\int_{0}^{\mathit{t}}\mathit{v_{y}}\mathit{dt}$

Komponen x0, y0, dan z0 adalah koordinat posisi awal titik materi pada sumbu X, Y, dan Z. Berdasarkan pengintegralan tersebut, vektor posisi dapat dituliskan sebagai berikut.

$\vec{\mathit{r}}=\left [\mathit{x_{o}}+\int_{0}^{t}\mathit{v_{x}}\mathit{dt} \right ]\widehat{\mathit{i}}+\left [ \mathit{y_{o}}+\int_{0}^{t}\mathit{v_{y}}\mathit{dt} \right ]\widehat{\mathit{j}}+\left [ \mathit{z_{o}}+\int_{0}^{t}\mathit{v_{z}}\mathit{dt} \right ]\widehat{k}$

Percepatan Gerak Benda

Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu. Persamaannya dituliskan sebagai berikut.

$\vec{\mathit{a}}_{rt}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta \mathit{t}}=\frac{\vec{\mathit{v}}_{2}-\vec{\mathit{v}}_{1}}{\mathit{t}_{2}-\mathit{t}_{1}}$

$\vec{\mathit{a}}_{rt}=\frac{\Delta \mathit{v}_{x}}{\Delta \mathit{t}}\widehat{\mathit{i}}+\frac{\Delta \mathit{v}_{y}}{\Delta \mathit{t}}\widehat{\mathit{j}}$

Secara ringkas $\vec{\mathit{a_{rt}}}$ dapat dituliskan sebagai berikut.

$\vec{\mathit{a}}_{rt}=(\mathit{a}_{x})_{rt}\widehat{\mathit{i}}+(\mathit{a}_{y})_{rt}\widehat{\mathit{j}}$

Adapun besar dari percepatan rata-rata dirumuskan :

$\left | \vec{\mathit{a}}_{rt} \right |=\sqrt{\left [ (\mathit{a}_{x})_{rt} \right ]^{2}+\left [ (\mathit{a}_{y})_{rt} \right ]^{2}}$

Keterangan:

$\vec{\mathit{a_{rt}}}$ = percepatan rata-rata $(m/s^{2})$
$(\mathit{a_{x}})_{rt}$ dan $(\mathit{a_{y}})_{rt}$ = komponen percepatan pada sumbu X dan Y

Seperti halnya pada kecepatan, percepatan dapat pula ditinjau dari suatu waktu dan titik tertentu. Percepatan ini disebut percepatan sesaat. Persamaan percepatan sesaat sebagai berikut :

. $\vec{\mathit{a}}(\mathit{t})=\lim_{\Delta \mathit{t}\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{v}(\mathit{\mathit{t}})}{\Delta \mathit{t}}=\lim_{\Delta \mathit{t}\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{v}(\mathit{\mathit{t}+\Delta \mathit{t}})-\vec{\mathit{v}}(\mathit{t})}{\Delta \mathit{t}}=\frac{\mathit{d}\vec{\mathit{v}}(\mathit{t})}{\mathit{dt}}$

Persamaan sesaat untuk tiap-tiap sumbu koordinat:

$\vec{\mathit{a}}(t)=\frac{\mathit{d}\vec{\mathit{v}}_{x}(\mathit{t})}{\mathit{dt}}\widehat{\mathit{i}}+\frac{\mathit{d}\vec{\mathit{v}}_{y}(\mathit{t})}{\mathit{dt}}\widehat{\mathit{j}}$

Sehingga besar percepatan sesaatnya

$\left | \vec{\mathit{a}}(\mathit{t}) \right |=\sqrt{(\mathit{a_{x}})^{2}+(\mathit{a}_{y})^{2}}$

Keterangan:

| $\vec{\mathit{a}}$ (t)| = besar percepatan sesaat $(\mathit{m}/\mathit{s}^{2})$
$\mathit{a}_{x}$ dan $\mathit{a}_{y}$ = komponen percepatan sesaat pada sumbu X dan Y $(\mathit{m}/\mathit{s}^{2})$

Menentukan Kecepatan dari Fungsi Percepatan

Kecepatan dapat ditentukan dengan mengintegralkan fungsi percepatan. Persamaannya dituliskan sebagai berikut.

$\mathit{a}= \frac{\mathit{dv}}{\mathit{dt}}$

$\mathit{v}= \mathit{v_{o}}+\int_{0}^{t}\mathit{a} \mathit{dt}$

Selamat Belajar ... Pelajari "Soal dan Pembahasan" dan kerjakan Soal Latihan.

Sukses Selalu dan Selalu Istiqomah. Jangan lupa beri komentar ....

Analisis Vektor Gerak

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Waktu Sholat

Total Tayangan Halaman

Unggahan Baru

Materi

Arsip Blog

Pengikut

Link

p.koko blog

Alamat

Kontak