Soal Pembahasan Analisis Vektor Gerak ~ p.koko blog

Turunan/diferensial :

$y=ax^{n}$

$\frac{dy}{dx}=a.n.x^{n-1}$

Contoh :

$y=2x^{3}+3x^{2}-4t+5$

Tentukan turunan dari persamaan di atas!

Jawab :

$\frac{dy}{dy}=\frac{d(2x^{3}+3x^{2}-4t+5)}{dx}=2.3.x^{3-1}+3.2.x^{2-1}-4.1.x^{1-1}+0$

$\frac{dy}{dy}=6x^{2}+6x-4$

SOAL DAN PEMBAHASAN

Sebuah partikel bergerak dengan persamaan posisi terhadap waktu r(t) = 3t2 − 2t + 1, dengan t dalam sekon dan r dalam meter. Tentukan :

a. Kecepatan partikel saat t = 2 sekon

b. Kecepatan rata-rata partikel antara t = 0 sekon hingga t = 2 sekon

Penyelesaian :

a. Kecepatan sesaat

$v=\frac{dr}{dt}=\frac{d(3t^{2}-2t+1)}{dt}=6t-2$

t = 2 s ---> v = 6 (2) - 2 = 10 m/s

b. Kecepatan rata-rata

$t_{1}=0s\rightarrow r_{1}=3(0)^{2}-2(0)+1=1\textup{m/s}$

$t_{2}=2\textup{s}\rightarrow r_{2}=3(2)^{2}-2(2)+1=9\textup{m/s}$

kecepatan rata-ratanya adalah :

$v_{\textup{rt}}=\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{r_{2}-r_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac{9-1}{2-0}=\frac{8}{2}=4\textup{m/s}$

Jika vektor posisi suatu partikel yang bergerak dalam bidang x, y adalah

Jika vektor posisi suatu partikel yang bergerak dalam bidang

$\vec{r}=(2t^{3})\widehat{i}+(t^{2}+6)\widehat{j}$

dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan :

a. Besar posisi pada t = 2 s

b. Besar kecepatan pada t = 2 s

c. Besar percepatan pada t = 2 s

Penyelesaian :

a. Besar posisi

$t=2\textup{s}\rightarrow \vec{r}=(2(2)^{3})\widehat{i}+((2)^{2}+6)\widehat{j}=16\widehat{i}+10\widehat{j}$

$\left | \vec{r} \right |=\sqrt{16^{2}+(10)^{2}}=126,7 \textup{m}$

b. Besar kecepatan

$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=(6t^{2})\widehat{i}+(2t)\widehat{j}$

$t=2\textup{s}\rightarrow \vec{v}=(6(2)^{2})\widehat{i}+(2.2)\widehat{j}=24\widehat{i}+4\widehat{j}$

$\left | \vec{v} \right |=\sqrt{(24)^{2}+(4)^{2}}=24,3\textup{m/s}$

Integral :

$\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c$

Contoh :

Selesaikan integral di bawah ini :

$\int( 2x^{2}+x+4)dx$

Jawab :

$\int( 2x^{2}+x+4)dx=\frac{2}{2+1}x^{2+1}+\frac{1}{1+1}x^{1+1}+\frac{4}{0+1}x^{0+1}=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+4x$

SOAL DAN PEMBAHASAN

Sebuah benda bergerak lurus dengan persamaan kecepatan :

$\vec{v}=4\widehat{i}+(2t+2\frac{1}{3})\widehat{j}$ m/s. Jika posisi benda mula-mula di pusat koordinat, maka tentukan perpindahan benda selama 3 sekon!

Penyelesaian :

Posisi benda :

$\vec{r}=\vec{r_{o}}+\int \vec{v}dt$

$\vec{r}=0+\int (4\widehat{i}+(2t+2\frac{1}{3})\widehat{j})dt$

$\vec{r}=(4t)\widehat{i}+(\frac{2}{1+1}t^{1+1}+\frac{\frac{7}{3}}{0+1}t^{0+1})\widehat{j}$

$\vec{r}=(4t)\widehat{i}+(t^{2}+\frac{7}{3}t)\widehat{j}$

Perpindahan benda pada t = 3 s :

$\vec{r}=(4(3))\widehat{i}+((3)^{2}+\frac{7}{3}3)\widehat{j}$

$\vec{r}=12\widehat{i}+16\widehat{j}$

Besar perpindahan benda :

$\left | \vec{r} \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$\left | \vec{r} \right |=\sqrt{12^{2}+16^{2}}$

$\left | \vec{r} \right |=\sqrt{400}$

$\left | \vec{r} \right |=20$ m/s

Titik materi yang bergerak pada bidang XY mempunyai kecepatan yang berubah terhadap waktu menurut persamaan $v_{\textup{x}}=(t+10)\textup{m/s}$ dan $v_{\textup{y}}=(9t+10t^{2})\textup{m/s}$ . Jika t dinyatakan dalam sekon, tentukan :

a. vektor kecepatan titik materi

b. besar dan arah kecepatan titik materi pada t = 2 s

c. besar dan arah kecepatan titik materi pada t = 5 s

d. vektor percepatan sesaat

e. besar vektor percepatan saat t = 2 s

f. vektor percepatan rata-rata titik meteri t = 2 s hingga t = 5 s

g. besar dan arah percepatan rata-rata titik materi dari t = 2 s hingga t = 5 s

h. vekfor posisi titik materi

i. besar perpindahan pada t = 2 s

Penyelesaian :

a. vektor kecepatan :

$\vec{v}=(v_{\textup{x}})\widehat{i}+(v_{\textup{y}})\widehat{j}$

$\vec{v}=(t+10)\widehat{i}+(9t+10t^{2})\widehat{j}$

b. besar dan arah kecepatan pada t = 2 s

$t = 2 \textup{s}\rightarrow \vec{v}=(2+10)\widehat{i}+(9(2)+10(2)^{2})\widehat{j}$

$\vec{v}=(12)\widehat{i}+(58)\widehat{j}$

besar kecepatan :

$\left | \vec{v} \right |=\sqrt{v_{\textup{x}}^{2}+v_{\textup{y}}^{2}}$

$\left | \vec{v} \right |=\sqrt{12^{2}+58^{2}}=59,23&space; \textup{m/s}$

arah kecepatan :

$\textup{tan}\theta =\frac{v_{\textup{y}}}{v_{x}}=\frac{58}{12}\rightarrow \theta =78,31^{o}$

c. besar dan arah kecepatan pada t = 5 s

$t = 5 \textup{s}\rightarrow \vec{v}=(5+10)\widehat{i}+(9(5)+10(5)^{2})\widehat{j}$

$\vec{v}=(15)\widehat{i}+(295)\widehat{j}$

besar kecepatan :

$\left | \vec{v} \right |=\sqrt{v_{\textup{x}}^{2}+v_{\textup{y}}^{2}}$

$\left | \vec{v} \right |=\sqrt{15^{2}+295^{2}}=295,38&space; \textup{m/s}$

arah kecepatan :

$\textup{tan}\theta =\frac{v_{\textup{y}}}{v_{x}}=\frac{295}{15}\rightarrow \theta =87,09^{o}$

d. vektor percepatan sesaat

$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d((t+10)\widehat{i}+(9t+10t^{2})\widehat{j}))}{dt}=(1)\widehat{i}+(9+20t)\widehat{j}=\widehat{i}+(9+20t)\widehat{j}$

e. besar vektor percepatan

$t=2\textup{s}\rightarrow \vec{a}=\widehat{i}+(9+20(2))\widehat{j}=\widehat{i}+49\widehat{j}$

$\left | \vec{a} \right|=\sqrt{a_{\textup{x}}^{2}+a_{\textup{y}}^{2}}=\sqrt{1^{2}+49^{2}}=49,01\textup{m}.\textup{s}^{-2}$

f. vektor percepatan rata-rata

$t_{1}=2\textup{s}\rightarrow \vec{v_{1}}=(2+10)\widehat{i}+(9(2)+10(2)^{2})\widehat{j}=12\widehat{i}+58\widehat{j}$

$t_{2}=5\textup{s}\rightarrow \vec{v_{2}}=(5+10)\widehat{i}+(9(5)+10(5)^{2})\widehat{j}=15\widehat{i}+295\widehat{j}$

$\vec{a}_{\textup{rt}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

$\vec{a}_{\textup{rt}}=\frac{\vec{v_{2}}-\vec{v_{1}}}{t_{2}-t_{1}}$

$\vec{a}_{\textup{rt}}=\frac{\left [15\widehat{i}+295\widehat{j}\right ]-\left [12\widehat{i}+58\widehat{j} \right ]}{5-2}=\frac{\left [15\widehat{i}-12\widehat{i}\right ]+\left [295\widehat{j}-58\widehat{j} \right ]}{3}$

$\vec{a}_{\textup{rt}}=\widehat{i}+79\widehat{j}$

g. besar vektor percepatan

$\left | \vec{a}_{\textup{\textup{rt}}} \right |=\sqrt{a_{\textup{x}}^{2}+a_{\textup{y}}^{2}}=\sqrt{1^{2}+79^{2}}=79,01\textup{m}.\textup{s}^{-2}$

arahnya :

$\textup{tan}\theta =\frac{a_{\textup{y}}}{a_{\textup{x}}}=\frac{79}{1}\rightarrow \theta =89^{\textup{o}}$

h. vektor posisi

$\vec{r}=\vec{r}_{\textup{o}}+\int \vec{v}dt$

$\vec{r}=0+\int [(t+10)\widehat{i}+(9t+10t^{2})\widehat{j}]dt$

$\vec{r}=(\frac{1}{2}t^{2}+10t)\widehat{i}+(\frac{9}{2}t^{2}+\frac{10}{3}t^{3})\widehat{j}$

i. besar perpindahan (posisi) pada t = 2 s

$t=2\textup{s}\rightarrow \vec{r}=(\frac{1}{2}(2)^{2}+10(2))\widehat{i}+(\frac{9}{2}(2)^{2}+\frac{10}{3}(2)^{3})\widehat{j}=22\widehat{i}+\frac{134}{3}\widehat{j}$

$\left | \vec{r} \right |=\sqrt{r_{\textup{x}}^{2}+r_{\textup{y}}^{2}}$

$\left | \vec{r} \right |=\sqrt{22^{2}+(\frac{134}{3})^{2}}=49,8\textup{m}$

Semoga Bermanfaat ...

Sukses Selalu & Selalu Istiqomah

Soal Pembahasan Analisis Vektor Gerak

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Waktu Sholat

Total Tayangan Halaman

Unggahan Baru

Materi

Arsip Blog

Pengikut

Link

p.koko blog

Alamat

Kontak